Teorema de Cantor

El polinomio mónico será

p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

Para que tenga coeficientes reales debe tener la raíz conjugada de la compleja luego será

p(x) = (x-1+i)(x-1-i)(x-r) =

[(x-1)^2 - i^2] (x-r) =

[(x-1)^2 + 1](x-r) =

(x^2 - 2x + 1 + 1)(x-r) =

(x^2 - 2x + 2) (x-r) =

x^3 - 2x^2 + 2x - rx^2 + 2rx - 2r =

x^3 - (2+r)x^2 + (2+2r)x - 2r

Y el resto de dividir entre x-2 por el teorema del resto es p(2)

p(2) = 8 - 4(2+r) + 2(2+2r) - 2r = 8 - 8 -4r +4 + 4r -2r = 4-2r

que debe ser 1 luego

4-2r = 1

2r = 3

r=3/2

Luego el polinomio será

p(x) = x^3 - (2+3/2)x^2 + (2+3)x - 3

p(x) = x^3 - (7/2)x^2 + 5x - 3

Y eso es todo.