Anónimo
Problema ecuación diferencial...
Problema ecuación diferencial... ¿Me pueden ayudar? Gracias
La evolución de la renta de una economía Y(t) (en función del tiempo, considerado en años y variable continua), depende de las exportaciones y del consumo interno.
Datos:
-Exportaciones: f(t)= 2080 . E^ 0,05t
-Consumo: C(t)=1/2 . Y (t)
-Tasa variación de la renta es el 40% de la suma de la mitad de las exportaciones y la cuarta parte del consumo
Me piden...
1) Plantear ecuación diferencial que determina la evolución de la renta, y(t)
2) Resolver la ecuación diferencial planteada
3) Calcular evolución de la renta si Y(1)=1000
(¿Por pasos por favor? Muchas gracias)
La evolución de la renta de una economía Y(t) (en función del tiempo, considerado en años y variable continua), depende de las exportaciones y del consumo interno.
Datos:
-Exportaciones: f(t)= 2080 . E^ 0,05t
-Consumo: C(t)=1/2 . Y (t)
-Tasa variación de la renta es el 40% de la suma de la mitad de las exportaciones y la cuarta parte del consumo
Me piden...
1) Plantear ecuación diferencial que determina la evolución de la renta, y(t)
2) Resolver la ecuación diferencial planteada
3) Calcular evolución de la renta si Y(1)=1000
(¿Por pasos por favor? Muchas gracias)
1 respuesta
Respuesta
1
1) La ecuación diferencial planteada sería una cosa así según los datos que se dan:
d[y(t)]/dt = 0,4*[1/2*2080*exp(0,05*t) +1/4*1/2*y(t)]
Operando y reagrupando queda:
d[y(t)]/dt - 0,05*y(t) = 416*exp(0,05*t)
2) Resolver la ecuación diferencial planteada:
La ecuación planteada es una ecuación diferencial ordinaria de primer grado del tipo genérico:
d[y(t)]/dt + P(t)*y(t) = Q(t); siendo P(t) y Q(t) funciones polinómicas continuas en todo "t"
Existe un factor integrante por el que se pueden multiplicar todos los componentes de la ecuación que es igual a:
Factor integrante = exp[integral(P(t))]
Quedando la ecuación diferencial de esta forma:
d[y(t)]/dt*exp[integral(P(t))] + P(t)*y(t)*exp[integral(P(t))] = Q(t)*exp[integral(P(t))]
Si nosotros por otro lado derivásemos la expresión y(t)*exp[integral(P(t))] obtendríamos lo siguiente:
d[y(t)]/dt*exp[integral(P(t))] + y(t)*P(t)*exp[integral(P(t))]; y esto es lo mismo que el primer miembro de la ecuación diferencial resultante de multiplicar por el factor integrante, luego se puede establecer la siguiente igualdad:
d[y(t)*exp[integral(P(t))]] = Q(t)*exp[integral(P(t))]
Integrando y despejando se obtiene la solución general de la ecuación diferencial tal que:
y(t) = integral[Q(t)*exp[integral(P(t))]] * exp[- integral(P(t))]
Para este caso P(t) = -0,05 (constante)
Q(t) = 416*exp(0,05*t)
Quedando: y(t) = 416*t*exp(0,05*t) + C
3) Si y(1) = 1000 se nos está dando una condición de contorno para poder hallar la constante, sustituyendo tendremos:
1000 = 416*1*exp(0,05*1) + C ----> C = 562,67
Luego la evolución de la renta viene dada completamente por la ecuación:
y(t) = 416*t*exp(0,05*t) + 562,67
Un saludo, Vitolinux
d[y(t)]/dt = 0,4*[1/2*2080*exp(0,05*t) +1/4*1/2*y(t)]
Operando y reagrupando queda:
d[y(t)]/dt - 0,05*y(t) = 416*exp(0,05*t)
2) Resolver la ecuación diferencial planteada:
La ecuación planteada es una ecuación diferencial ordinaria de primer grado del tipo genérico:
d[y(t)]/dt + P(t)*y(t) = Q(t); siendo P(t) y Q(t) funciones polinómicas continuas en todo "t"
Existe un factor integrante por el que se pueden multiplicar todos los componentes de la ecuación que es igual a:
Factor integrante = exp[integral(P(t))]
Quedando la ecuación diferencial de esta forma:
d[y(t)]/dt*exp[integral(P(t))] + P(t)*y(t)*exp[integral(P(t))] = Q(t)*exp[integral(P(t))]
Si nosotros por otro lado derivásemos la expresión y(t)*exp[integral(P(t))] obtendríamos lo siguiente:
d[y(t)]/dt*exp[integral(P(t))] + y(t)*P(t)*exp[integral(P(t))]; y esto es lo mismo que el primer miembro de la ecuación diferencial resultante de multiplicar por el factor integrante, luego se puede establecer la siguiente igualdad:
d[y(t)*exp[integral(P(t))]] = Q(t)*exp[integral(P(t))]
Integrando y despejando se obtiene la solución general de la ecuación diferencial tal que:
y(t) = integral[Q(t)*exp[integral(P(t))]] * exp[- integral(P(t))]
Para este caso P(t) = -0,05 (constante)
Q(t) = 416*exp(0,05*t)
Quedando: y(t) = 416*t*exp(0,05*t) + C
3) Si y(1) = 1000 se nos está dando una condición de contorno para poder hallar la constante, sustituyendo tendremos:
1000 = 416*1*exp(0,05*1) + C ----> C = 562,67
Luego la evolución de la renta viene dada completamente por la ecuación:
y(t) = 416*t*exp(0,05*t) + 562,67
Un saludo, Vitolinux