Anónimo
Necesito ayuda para resolver un ejercicio matemático
¿Hola cómo estas? Quisiera que me ayudes a resolver un problema de matemáticas, me lo dieron en las olimpíadas y la verdad que no lo comprendo:
"dado un numero natural, la operación legal es la siguiente secuencia de 4 pasos:1) suprimir el ultimo dígito de la derecha;2) escribir el dígito suprimido como primer dígito de la izquierda;3) multiplicar por 9;4) dividir por 2.por ejemplo, el resultado de aplicar la operación legal a 425 es 9.542/2=2439.
Diremos que un numero natural"n"es especial si el resultado de aplicarle a"n"la operación legal es el mismo numero natural"n".
Una computadora hizo la lista de todos los números especiales de hasta 2000 cifras, ordenados de menor a mayor. Hallar los 10 primeros números de esa lista."
Muchas gracias y espero tu respuesta al problema..
"dado un numero natural, la operación legal es la siguiente secuencia de 4 pasos:1) suprimir el ultimo dígito de la derecha;2) escribir el dígito suprimido como primer dígito de la izquierda;3) multiplicar por 9;4) dividir por 2.por ejemplo, el resultado de aplicar la operación legal a 425 es 9.542/2=2439.
Diremos que un numero natural"n"es especial si el resultado de aplicarle a"n"la operación legal es el mismo numero natural"n".
Una computadora hizo la lista de todos los números especiales de hasta 2000 cifras, ordenados de menor a mayor. Hallar los 10 primeros números de esa lista."
Muchas gracias y espero tu respuesta al problema..
1 Respuesta
Respuesta de damero_cr
1
Ya tengo tu respuesta, es el algoritmo para resolverlo y la explicación, aunque no determine todos los primeros diez... pero como tu sabes en las olimpiadas lo más importante es comprender los ejercicios.
Primero uno escribe 452=400+50+2, eso es un ejemplo
entonces si abc es un numero natural se escribiria abc=100a+10b+c; siguiendo la misma idea.
1)para un digito de una cifra el problema seria asi (a*9)/2=a -> a*9=2*a, que no tiene solucion.
2) para un digito de dos cifras seria ab*9=ba*2 es decir (10a+b)*9=(10b+a)*2 realizando las operaciones obtenemos 88a=11b -> 8a=b
para poder dar solucion tenemos que dejar fijo ya sea a o b, dejar fijo es darle un valor sin perder generalidad
ningun b menor que 8 funciona.
Sea b=8 (o sea los dígitos del 1 al 9) entonces 1=a, probemos (18*9)/2=81, que es el numero original ya que 81 el primer dígito de la izquierda es 1 y hay que ponerlo como primer dígito de la izquierda es decir quería 18 y se apliaca los pasos 3 y 4 y obtenemos 81).
Sea a=2 entonces 16=b, pero b es un dígito o sea esta entre 1 y 9 o bien 0 en algunos casos. Por ende no hay más en 2 cifras.
81 es el primero de los diez números.
3) para tres digitos seria (abc*9)/2=cab
9[100a+10b+c]=2[100c+10b+a] -> 888a=191c-70b
aqui tenemos que dejar fijo dos valores y uno libre
c=1 y b=0 ( b puede ser cero ya que sigo siendo un numero de tres cifras)
888a=191 a no tiene solucion en los naturales
c=1 y b=1
c=1 y b=2 y asi consecutivamente (pq c=1 pq estamos haciendo los numeros del 100 al 199)
y asi consecutivamente...
luego c=2 y b=0
Primero uno escribe 452=400+50+2, eso es un ejemplo
entonces si abc es un numero natural se escribiria abc=100a+10b+c; siguiendo la misma idea.
1)para un digito de una cifra el problema seria asi (a*9)/2=a -> a*9=2*a, que no tiene solucion.
2) para un digito de dos cifras seria ab*9=ba*2 es decir (10a+b)*9=(10b+a)*2 realizando las operaciones obtenemos 88a=11b -> 8a=b
para poder dar solucion tenemos que dejar fijo ya sea a o b, dejar fijo es darle un valor sin perder generalidad
ningun b menor que 8 funciona.
Sea b=8 (o sea los dígitos del 1 al 9) entonces 1=a, probemos (18*9)/2=81, que es el numero original ya que 81 el primer dígito de la izquierda es 1 y hay que ponerlo como primer dígito de la izquierda es decir quería 18 y se apliaca los pasos 3 y 4 y obtenemos 81).
Sea a=2 entonces 16=b, pero b es un dígito o sea esta entre 1 y 9 o bien 0 en algunos casos. Por ende no hay más en 2 cifras.
81 es el primero de los diez números.
3) para tres digitos seria (abc*9)/2=cab
9[100a+10b+c]=2[100c+10b+a] -> 888a=191c-70b
aqui tenemos que dejar fijo dos valores y uno libre
c=1 y b=0 ( b puede ser cero ya que sigo siendo un numero de tres cifras)
888a=191 a no tiene solucion en los naturales
c=1 y b=1
c=1 y b=2 y asi consecutivamente (pq c=1 pq estamos haciendo los numeros del 100 al 199)
y asi consecutivamente...
luego c=2 y b=0
Muchísimas gracias, no te imaginas la ayuda importantísima que me diste, ahora ya se que puedo contar con un amigo, hasta la próxima, byeeeee.