Por el diámetro calcular metros de un rollo

Necesito calcular los metros en un rollo de lamina flexible de 1 mm de espesor, que tiene un diámetro de 400mm y un tubo en su interior de 76 mm
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Respuesta de
La longitud de una vuelta es pi*d^2/4
La primera vuelta será: pi*76^2/4
La segunda vuelta será: pi*78^2/4 pues el diámetro ha engrosado en 2 mm como resultado de la primera vuelta.
La tercera vuelta será: pi*80^2/4
Etc, etc
La ultima vuelta será: pi*398^2/4
Bien, la longitud total será la suma de todo lo calculado arriba, por tanto lo sumamos y para ello sacamos factor común pi/4
Suma= (pi/4) * (76^2+78^2+80^2+..+398^2)
Como el contenido del segundo paréntesis son todos números pares, sacamos de factor común de ese paréntesis 4. Así por ejemplo para el primer numero que es 76^2
76^2= 4*(76^2)/4 = 4*((76/2)^2) = 4*38^2 por lo que la cantidad no varia.
Lo aplicamos a todos
Suma= (pi/4) * 4*(38^2+39^2+40^2+..+199^2) y simplificando el 4=
Suma= pi * (38^2+39^2+40^2+..+199^2)
Sabemos que:
La fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros números naturales es
1^2+2^2+3^2+.+n^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6
Por tanto la suma de la serie desde el numero 1 al 36 es = 36*37*73/6 = 16206
Y la suma de la serie desde el numero 1 al 199 = 199*200*399 = 2646700
La longitud total será = pi * (2646700-16206) = 8 259 751,16 mm = 8 259, 75116 metros, salvo error u omision.
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