Derivadas direccionales y gradiente

a) El gradiente en un punto indica precisamente la dirección de mayor pendiente en ese punto.

Calculamos el vector gradiente que es el dado por las derivadas parciales

$$\begin{align}&z=1200-3x^2-2y^2\\ &\\ &\frac{\partial z}{\partial x}=-6x\\ &\\ &\frac{\partial z}{\partial y}=-4y\\ &\\ &\nabla z(-10,5) =60i-20j\end{align}$$

Luego la dirección de la ladera más pronunciada es 60i-20j puede simplificarse a 3i-j o expresarse como el vector (3, 1)

b) Debemos calcular la derivada direccional hacia el este en ese punto. Eso es el producto escalar del gradiente por el vector unitario de la dirección. La dirección este tiene el vector (1,0) como vector unitario

Y la derivada direccional en (-10,5) es

$$z_{(1,0)}^´= (60,-20)·(1,0) = 60$$

Asciende ya que la derivada direccional es positiva y la razón es que asciende 60 m en vertical por cada uno que avanza en horizontal.

c) La dirección suroeste es negativa en los dos ejes, su vector direccional unitario es

$$\begin{align}&u=\left(-\frac {\sqrt 2}{2},-\frac{\sqrt 2}{2}\right)\\ &\\ &\\ &z_u^´=(60,-20)·\left(-\frac {\sqrt 2}{2},-\frac{\sqrt 2}{2}\right)=\\ &\\ &-30 \sqrt 2+10 \sqrt 2= -20 \sqrt 2\\ &\\ &\text{Desciende y la razón es  }\;20 \sqrt 2\end{align}$$

d) Para recorrer una trayectoria a nivel la derivada direccional debe ser 0, luego el vector direccional debe ser perpendicular al gradiente, es decir que el producto escalar sea 0

(60,-20) · (a,b) = 60a-20b=0

Si b=0 ==> a=0 que es el vector nulo

Si b distinto de 0 lo hacemos 1 y

60a -20 = 0

60a = 20

a = 1/3

El vector queda (1/3, 1) o si lo prefieres (1,3)

Y si el vector (1,3) es perpendicular también los es (-1,-3)

Luego las direcciones donde el recorrido es a nivel son (1,3 y (-1,-3)

Y eso es todo.