Tasa de convergencia de una sucesión

Hola! A partir de la siguiente definición me piden resolver unos ejercicios.

Decimos que la sucesión {Zn} converge a un número real z con tasa a si existe una constante finita c que no depende de n, tal que

$$|z_n - z|\leq c (\frac{1}{n})^a$$

Estima la tasa de convergencia, cuando n tiende a infinito, de las siguientes sucesiones:

1.

$$z_n =\sqrt{\frac{1}{n}}$$

2.

$$z_n = sen \frac{1}{n}$$
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Respuesta de

¡Hola Melanny1!

1) La sucesión Zn = sqrt(1/n) tiende a 0 cuando n-->+oo

Luego la tasa se calcula a partir de

|Zn| = sqrt(1/n) <=c (1/n)^a

El exponente de la raíz cuadrada es 1/2, basta que tomemos c=1 y a=1/2 para que se cumpla

sqrt(1/n) <= 1·(1/n)^(1/2)

En realidad es una igualdad, cumple por los pelos, pero cumple

Asi que la tasa de convergencia es 1/2 = 0.5

2) La sucesión sen(1/n) tiende a sen(0) = 0 cuando n-->+oo

Luego es |sen(1/n)| lo que debemos acotar

Como decíamos antes, cuando n tiende a infinito 1/n tiende a 0

Si observamos el dibujo de la circunferencia unidad con un ángulo pequeño y su seno, vemos que que el seno es más pequeño que la porción de circunferencia que abarca el ángulo. Esa porción de circunferencia es el argumento del ángulo del seno , ya que dicho ángulo se mide en radianes.

Es decir, se tiene

sen(1/n) < 1/n para todo n.

Tomamos c=1 y a = 1

|sen(1/n)| <= 1(1/n)^1

Luego la tasa de convergencia es 1.

Hola! Muchas gracias, justamente es lo que he calculado.

solo me falta una pero no le hayo. Ya hice otras.

Zn = n ( e^(1/n) - 1 - (1/n))

Lo primero es ver cuál es el límite, porque no está nada claro.

Sabemos que la definición del número e es

lím n --> +oo de (1+1/n)^n.

Ya que vamos a tomar límites con n tendiendo a +oo sustituyamos el numero e por esa expresión.

lim n-->+oo de Zn =

lim n-->+oo de n{[(1+1/n)^n]^(1/n) -1 - 1/n} =

lim n-->+oo de n{ 1+1/n -1 -1/n} =

lim n -->+oo de n + n/n - n -n/n = 0

Otra cosa que nos va ayudar más aun es el desarrollo de Taylor

e^x = 1 + x + x^2/2 + ...

e^(1/n) = 1 + 1/n + 1/(2n^2) + ....

lim n -->+oo de |Zn| = lim n-->+oo de n[1 + 1/n + 1/(2n^2) + ... -1 - 1/n)] =

lim n --> +oo de n[1/(2n^2) +...] =

lim n --> +oo de 1/(2n)

El resto era un infinitésimo de orden menor con valor despreciable cuando n -->+oo

Por una parte nos vuelve a confirmar que el límite es cero, pero además, nos dice cómo tiende a cero, lo hace del modo

lim n-->oo de |Zn-0| = lim n -->0 de (1/2)(1/n)

En realidad |Zn-0| siempre será algo mayor que (1/2)(1/n) por el infinitésimo que hemos suprimido, pero nada más que sumemos algo, por mínimo que sea, a 1/2 ya será menor cuando n -->+oo

Luego tomemos c=1 que sobra casi la mitad y a=1

Tendremos lim n-->+oo de |Zn - 0| <= 1·(1/n)^1.

Luego la tasa de convergencia es 1.

podrías ser mas explicito cuando dices: nos dice cómo tiende a cero, lo hace del modo
lim n-->oo de |Zn-0| = lim n -->0 de (1/2)(1/n)

Esta es una de las formas del desarrollo de Taylor, es pura teoría.

e^x = 1+ x + [(x^2)/2]·e^(bx) + con 0 <= b <= 1

e^(1/n) = 1 + 1/n + (1/2)[(1/n)^2]·e^(b/n) con 0<=b<=1

lim n-->+oo de |Zn-0| =

lim n-->+oo de |n[e^(1/n) - 1 - (1/n)]| =

lim n-->+oo de |n{1 + 1/n + (1/2)[(1/n)^2]·e^(b/n) - 1 - (1/n)]}| =

lim n-->+oo de |n(1/2)[(1/n)^2]·e^(b/n)| =

lim n-->+oo de (1/2)(1/n)e^(b/n)

e^(b/n) es una cantidad que tiende a e^0=1

como b>=0 ==> e^(b/n) >= 1

pero como e^(b/n)-->1 ,existe n lo suficientemente alto tal que e^(b/n) <=2

1 <= e^(b/n) <= 2

lim n -->+oo de (1/2)(1/n)e^(b/n) <= lim n -->+oo de (1/2)(1/n)·2 = lim n-->oo de (1/n)

Resumiéndolo todo:

lim n-->+oo de |Zn-0| <= lim n-->oo de (1/n)

Y tomando c=1 y a=1

lim n-->+oo de |Zn-0| <= lim n-->oo de c(1/n)^a

Luego la tasa de convergencia es 1

Y eso es todo. Es que esos detalles tan minuciosos como he hecho ahora se emplean solo los días de fiesta. El lenguaje de los infinitésimos de orden n o de las cantidades despreciables es el que se usa a diario y permite que las cosas vayan más ligeras.

Espero que te sirva y lo hayas entendido.

Un saludo.

Una pregunta: de donde dice pero como e^(b/n)-->1 ,existe n lo suficientemente alto tal que e^(b/n) <=2


que pasa si n=b=1 .?

Pero es que estamos calculando el límite de la sucesión cuando n-->intinito. No se pide convergencia para n = 1 sino para cuando n tienda a infinito. Si de todas formas quieres que sirva para cualquier n toma la c más grande porque tienes libertad para elegir el c que te dé la gana, siempre que una vez elegido sea único..

En realidad no importa lo que suceda para n =1 ni p ara n = 1000000 ni para n = 10^(200000000000), lo que importa es lo que suceda en el infinito, en lo anterior a podido diverger todo lo que se quiera y más.

Un saludo

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