Tasa de convergencia de una sucesión

Hola! A partir de la siguiente definición me piden resolver unos ejercicios.

Decimos que la sucesión {Zn} converge a un número real z con tasa a si existe una constante finita c que no depende de n, tal que

$$|z_n - z|\leq c (\frac{1}{n})^a$$

Estima la tasa de convergencia, cuando n tiende a infinito, de las siguientes sucesiones:

1.

$$z_n =\sqrt{\frac{1}{n}}$$

2.

$$z_n = sen \frac{1}{n}$$
1

1 respuesta

Respuesta
1

1) La sucesión Zn = sqrt(1/n) tiende a 0 cuando n-->+oo

Luego la tasa se calcula a partir de

|Zn| = sqrt(1/n) <=c (1/n)^a

El exponente de la raíz cuadrada es 1/2, basta que tomemos c=1 y a=1/2 para que se cumpla

sqrt(1/n) <= 1·(1/n)^(1/2)

En realidad es una igualdad, cumple por los pelos, pero cumple

Asi que la tasa de convergencia es 1/2 = 0.5

2) La sucesión sen(1/n) tiende a sen(0) = 0 cuando n-->+oo

Luego es |sen(1/n)| lo que debemos acotar

Como decíamos antes, cuando n tiende a infinito 1/n tiende a 0

Si observamos el dibujo de la circunferencia unidad con un ángulo pequeño y su seno, vemos que que el seno es más pequeño que la porción de circunferencia que abarca el ángulo. Esa porción de circunferencia es el argumento del ángulo del seno, ya que dicho ángulo se mide en radianes.

Es decir, se tiene

sen(1/n) < 1/n para todo n.

Tomamos c=1 y a = 1

|sen(1/n)| <= 1(1/n)^1

Luego la tasa de convergencia es 1.

Y eso es todo.

Hola! Muchas gracias, justamente es lo que he calculado.

solo me falta una pero no le hayo. Ya hice otras.

Zn = n ( e^(1/n) - 1 - (1/n))

Lo primero es ver cuál es el límite, porque no está nada claro.

Sabemos que la definición del número e es

lím n --> +oo de (1+1/n)^n.

Ya que vamos a tomar límites con n tendiendo a +oo sustituyamos el numero e por esa expresión.

lim n-->+oo de Zn =

lim n-->+oo de n{[(1+1/n)^n]^(1/n) -1 - 1/n} =

lim n-->+oo de n{ 1+1/n -1 -1/n} =

lim n -->+oo de n + n/n - n -n/n = 0

Otra cosa que nos va ayudar más aun es el desarrollo de Taylor

e^x = 1 + x + x^2/2 + ...

e^(1/n) = 1 + 1/n + 1/(2n^2) + ....

lim n -->+oo de |Zn| = lim n-->+oo de n[1 + 1/n + 1/(2n^2) + ... -1 - 1/n)] =

lim n --> +oo de n[1/(2n^2) +...] =

lim n --> +oo de 1/(2n)

El resto era un infinitésimo de orden menor con valor despreciable cuando n -->+oo

Por una parte nos vuelve a confirmar que el límite es cero, pero además, nos dice cómo tiende a cero, lo hace del modo

lim n-->oo de |Zn-0| = lim n -->0 de (1/2)(1/n)

En realidad |Zn-0| siempre será algo mayor que (1/2)(1/n) por el infinitésimo que hemos suprimido, pero nada más que sumemos algo, por mínimo que sea, a 1/2 ya será menor cuando n -->+oo

Luego tomemos c=1 que sobra casi la mitad y a=1

Tendremos lim n-->+oo de |Zn - 0| <= 1·(1/n)^1.

Luego la tasa de convergencia es 1.

Y eso es todo.

podrías ser mas explicito cuando dices: nos dice cómo tiende a cero, lo hace del modo
lim n-->oo de |Zn-0| = lim n -->0 de (1/2)(1/n)

Esta es una de las formas del desarrollo de Taylor, es pura teoría.

e^x = 1+ x + [(x^2)/2]·e^(bx) + con 0 <= b <= 1

e^(1/n) = 1 + 1/n + (1/2)[(1/n)^2]·e^(b/n) con 0<=b<=1

lim n-->+oo de |Zn-0| =

lim n-->+oo de |n[e^(1/n) - 1 - (1/n)]| =

lim n-->+oo de |n{1 + 1/n + (1/2)[(1/n)^2]·e^(b/n) - 1 - (1/n)]}| =

lim n-->+oo de |n(1/2)[(1/n)^2]·e^(b/n)| =

lim n-->+oo de (1/2)(1/n)e^(b/n)

e^(b/n) es una cantidad que tiende a e^0=1

como b>=0 ==> e^(b/n) >= 1

pero como e^(b/n)-->1 ,existe n lo suficientemente alto tal que e^(b/n) <=2

1 <= e^(b/n) <= 2

lim n -->+oo de (1/2)(1/n)e^(b/n) <= lim n -->+oo de (1/2)(1/n)·2 = lim n-->oo de (1/n)

Resumiéndolo todo:

lim n-->+oo de |Zn-0| <= lim n-->oo de (1/n)

Y tomando c=1 y a=1

lim n-->+oo de |Zn-0| <= lim n-->oo de c(1/n)^a

Luego la tasa de convergencia es 1

Y eso es todo. Es que esos detalles tan minuciosos como he hecho ahora se emplean solo los días de fiesta. El lenguaje de los infinitésimos de orden n o de las cantidades despreciables es el que se usa a diario y permite que las cosas vayan más ligeras.

Una pregunta: de donde dice pero como e^(b/n)-->1 ,existe n lo suficientemente alto tal que e^(b/n) <=2


que pasa si n=b=1 .?

Pero es que estamos calculando el límite de la sucesión cuando n-->intinito. No se pide convergencia para n = 1 sino para cuando n tienda a infinito. Si de todas formas quieres que sirva para cualquier n toma la c más grande porque tienes libertad para elegir el c que te dé la gana, siempre que una vez elegido sea único..

En realidad no importa lo que suceda para n =1 ni p ara n = 1000000 ni para n = 10^(200000000000), lo que importa es lo que suceda en el infinito, en lo anterior a podido diverger todo lo que se quiera y más.

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