Tasa de convergencia de una sucesión

Hola! A partir de la siguiente definición me piden resolver unos ejercicios.

Decimos que la sucesión {Zn} converge a un número real z con tasa a si existe una constante finita c que no depende de n, tal que

$$|z_n - z|\leq c (\frac{1}{n})^a$$

Estima la tasa de convergencia, cuando n tiende a infinito, de las siguientes sucesiones:

1.

$$z_n =\sqrt{\frac{1}{n}}$$

2.

$$z_n = sen \frac{1}{n}$$

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Respuesta de

¡Hola Melanny1!

1) La sucesión Zn = sqrt(1/n) tiende a 0 cuando n-->+oo

Luego la tasa se calcula a partir de

|Zn| = sqrt(1/n) <=c (1/n)^a

El exponente de la raíz cuadrada es 1/2, basta que tomemos c=1 y a=1/2 para que se cumpla

sqrt(1/n) <= 1·(1/n)^(1/2)

En realidad es una igualdad, cumple por los pelos, pero cumple

Asi que la tasa de convergencia es 1/2 = 0.5

2) La sucesión sen(1/n) tiende a sen(0) = 0 cuando n-->+oo

Luego es |sen(1/n)| lo que debemos acotar

Como decíamos antes, cuando n tiende a infinito 1/n tiende a 0

Si observamos el dibujo de la circunferencia unidad con un ángulo pequeño y su seno, vemos que que el seno es más pequeño que la porción de circunferencia que abarca el ángulo. Esa porción de circunferencia es el argumento del ángulo del seno , ya que dicho ángulo se mide en radianes.

Es decir, se tiene

sen(1/n) < 1/n para todo n.

Tomamos c=1 y a = 1

|sen(1/n)| <= 1(1/n)^1

Luego la tasa de convergencia es 1.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Un saludo.

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