Serie para A=n * 2^n
Saludos experto, ¿podrías decirme cuál es la serie correspondiente a la siguiente sucesión A=n * 2^n ? Muchas gracias!
1 respuesta
Respuesta de eudemo
1
Mejor decime eudemo y no experto.
Una serie es la suma de los términos de una sucesión
Si la sucesión es n*2^n los términos son
1*2^1=2
2*2^2=2*4=8
3*2^3=3*8=24
4*2^4=4*16=64
5*2^5=5*32=160
. . . . . . . .
La serie hasta n es
S(n)=2+8+24+64+160+. . . . +n*2^n
Por supuesto que es una serie divergente ya que sus términos no tienden a cero sino que divergen ya antes de sumarlos.
Más interesante sería la sucesión n*2^(-n) es decir con potencias negativas de 2 o lo que es lo mismo n/2^n. Esa serie converge a 2.
¿No sería esa la que tenés que investigar?
Bueno
Una serie es la suma de los términos de una sucesión
Si la sucesión es n*2^n los términos son
1*2^1=2
2*2^2=2*4=8
3*2^3=3*8=24
4*2^4=4*16=64
5*2^5=5*32=160
. . . . . . . .
La serie hasta n es
S(n)=2+8+24+64+160+. . . . +n*2^n
Por supuesto que es una serie divergente ya que sus términos no tienden a cero sino que divergen ya antes de sumarlos.
Más interesante sería la sucesión n*2^(-n) es decir con potencias negativas de 2 o lo que es lo mismo n/2^n. Esa serie converge a 2.
¿No sería esa la que tenés que investigar?
Bueno
tenés razón Eudemo en que la serie es divergente, pero yo no quiero estudiar el límite de la serie, perdoname no me expresé claramente, lo que yo quiero saber es si hay una fórmula para sumar los k primeros términos de la sucesión A=n * 2^n , como hay para la aritmética S(k)=(a1+an)*n/2 y para la geométrica S(k)=(an*q-a1)/(q-1)
Saludos
Saludos
¿Te llego la respuesta?
No te olvides de cerrarla
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Claro, je je, quieres la suma.
La verdad que me dejó pensando hasta que se me ocurrió descomponerla en suma de potencias de dos.
Recordemos primero que
1+2+4+16+.....+2^n
Es una serie de potencias y es bien sabido que su suma es 2^(n+1)-1
Si en lugar de comenzar desde el uno comenzamos desde el 2 la suma será una unidad más chica. Es decir que:
2+4+16+.....+2^n =2^(n+1) ? 2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Vamos ahora a nuestra serie que es así:
S(n)=0x1+1x2+2x4+3x8+4x16+5x32+....+n.2^n
desechando el primer término que es cero queda:
S(n)=1x2+2x4+3x8+4x16+5x32+.......+n.2^n
Ahora viene el truco.
En lugar de escribir 2x4 escribo 4+4
En lugar de escribir 3x4 escribo 8+8+8
En lugar de escribir 4x16 escribo 16+16+16+16
En lugar de escribir 5x32 escribo 32+32+32+32+32
En lugar de escribir 6x64 escribo 64+64+64+64+64+64
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
En lugar de escribir n.2^n escribo 2^n+2^n+2^n+........+2^n
Entonces nuestra suma es
2
4 + 4
8 + 8 + 8
16+ 16+ 16 + 16
32+ 32+ 32 + 32 +32
64+ 64+ 64 + 64 +64+64
..........
2^n + 2^n + 2^n + 2^n+....+ 2^n+2^n
Ahora sumemos cada columna
La 1er columna suma 2^(n+1) - 2
La 2da columna suma
2^(n+1)-2-2 = 2^(n+1) - 4
La 3r columna suma
2^(n+1)-2-2-4 =2^(n+1)-8
La 4ta columna suma
2^(n+1) -2-2-4-8 =2^(n+1)-16
............
La enésima columna suma
2^(n+1)-2^n =2^(n+1) - 2^n
En resumen tenemos n veces 2^(n+1) menos(2+4+8+...2^n)
Nos queda entonces
S(n)=n.2^(n+1)-[2^(n+1) ?2]
S(n)= =n 2^(n+1)-2^(n+1)+2
S(n)=(n-1) 2^(n+1)+2
Bueno...je je je como dice el chapulín, no contaban con mi astucia.
Por las dudas la probé para los primeros diez valores de n y da bien .
Los números son estos
S(1)= 2 = 0x4+2
S(2)= 10 = 1x8+2
S(3)= 34 =2x16+2
S(4)= 98 =3x32+2
S(5)= 258 =4x64+2
S(6)= 642 =5x128+2
S(7)= 1538 =6x256+2
S(8)= 3586 =7x512+2
S(9)= 8194=8x1024+2
S(10=18434=9x2048+2
Saludos
eudemo
La verdad que me dejó pensando hasta que se me ocurrió descomponerla en suma de potencias de dos.
Recordemos primero que
1+2+4+16+.....+2^n
Es una serie de potencias y es bien sabido que su suma es 2^(n+1)-1
Si en lugar de comenzar desde el uno comenzamos desde el 2 la suma será una unidad más chica. Es decir que:
2+4+16+.....+2^n =2^(n+1) ? 2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Vamos ahora a nuestra serie que es así:
S(n)=0x1+1x2+2x4+3x8+4x16+5x32+....+n.2^n
desechando el primer término que es cero queda:
S(n)=1x2+2x4+3x8+4x16+5x32+.......+n.2^n
Ahora viene el truco.
En lugar de escribir 2x4 escribo 4+4
En lugar de escribir 3x4 escribo 8+8+8
En lugar de escribir 4x16 escribo 16+16+16+16
En lugar de escribir 5x32 escribo 32+32+32+32+32
En lugar de escribir 6x64 escribo 64+64+64+64+64+64
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
En lugar de escribir n.2^n escribo 2^n+2^n+2^n+........+2^n
Entonces nuestra suma es
2
4 + 4
8 + 8 + 8
16+ 16+ 16 + 16
32+ 32+ 32 + 32 +32
64+ 64+ 64 + 64 +64+64
..........
2^n + 2^n + 2^n + 2^n+....+ 2^n+2^n
Ahora sumemos cada columna
La 1er columna suma 2^(n+1) - 2
La 2da columna suma
2^(n+1)-2-2 = 2^(n+1) - 4
La 3r columna suma
2^(n+1)-2-2-4 =2^(n+1)-8
La 4ta columna suma
2^(n+1) -2-2-4-8 =2^(n+1)-16
............
La enésima columna suma
2^(n+1)-2^n =2^(n+1) - 2^n
En resumen tenemos n veces 2^(n+1) menos(2+4+8+...2^n)
Nos queda entonces
S(n)=n.2^(n+1)-[2^(n+1) ?2]
S(n)= =n 2^(n+1)-2^(n+1)+2
S(n)=(n-1) 2^(n+1)+2
Bueno...je je je como dice el chapulín, no contaban con mi astucia.
Por las dudas la probé para los primeros diez valores de n y da bien .
Los números son estos
S(1)= 2 = 0x4+2
S(2)= 10 = 1x8+2
S(3)= 34 =2x16+2
S(4)= 98 =3x32+2
S(5)= 258 =4x64+2
S(6)= 642 =5x128+2
S(7)= 1538 =6x256+2
S(8)= 3586 =7x512+2
S(9)= 8194=8x1024+2
S(10=18434=9x2048+2
Saludos
eudemo
