Convergencia

Un ejemplo típico es la familia de funciones
fn(x)=x^n
En el intervalo [0,1]
Si x<1 fn(x) tiende a 0 cuando n tiende a infinito pero esa convergencia a cero no es uniforme
Veamos
¿Qué quiere decir que fn(x) tiende a cero?
Quiere decir que con x fijo tomando n lo suficientemente grande puedo hacer fn(x) todo lo chica que yo quiera(menor que un cierto epsilon)-Eso si yo tengo un x fijo pero si voy tomando x cada ves más cercanos a un se me hace más y más difícil hacer la función menor que epsilon . Si yo dejo n fijo y aumento x hasta llevarlo muy cerca de uno siempre poder dar a la función un valor mayor que epsilon (tan cercano a uno como yo quiera).
Es decir que no hay ningún n lo suficientemente grande como para que la función sea menor que epsilon para todo x. En fn(x) para x cercano a uno nunca bajará.
Habrá convergencia puntual si dado un epsilon cualquiera puedo encontrar un n que garantice Fn(x) <epsilon para el x dado. En la convergencia uniforme el n debe garantizar Fn(x) <epsilon para todo x, lo cual en este ejemplo no es posible.
Esto ocurre siempre que la función a la cual tiende la familia de funciones tiene una discontinuidad o salto.
Otro ejemplo
fn(x)=x^n/(1+x^n) en [0;+oo)
Para x<0 tiende a cero
Para x>0 tiende a uno
para x=1 tiende a (es) ½
Si me fijo por ejemplo un epsilon de 0,1 por más grande que yo haga a n acercándome lo suficientemente a uno (sin llegar) puedo hacer la diferencia entre la función y su límite mayor que 0,1 .Es decir que no hay ningún n por grande que sea que me garantice que la diferencia entre la función y su limite sea menor que 0,1 para todo x.