Mínimos cuadrados
Bueno quisiera saber si me podes explicar la siguiente cuestión.
Sacado de Probabilidad y Estadistica Morris Degroot 2da Ed. Addison Wesley
Ej. 5 Seccion 10.1 Pag 572
-Dados un conj de puntos en el plano cartesiano. Dispersos aleatoriamente.
- Supóngase que una recta de mínimos cuadrados y la parábola de mínimos cuadrados fueron ajustadas a un mismo conjunto de puntos.
- Explíquese por que la suma de los cuadrados de las desviaciones (dist. Vertical entre la curva y los puntos en el plano cartesiano). De los puntos respecto a a la parábola, NO PUEDE SER MAYOR que la suma de los cuadrados de las desviaciones de los puntos respecto a la recta.
Por favor si no te es mucha molestia esperaría que me dieras la solución antes de este sábado.
Sacado de Probabilidad y Estadistica Morris Degroot 2da Ed. Addison Wesley
Ej. 5 Seccion 10.1 Pag 572
-Dados un conj de puntos en el plano cartesiano. Dispersos aleatoriamente.
- Supóngase que una recta de mínimos cuadrados y la parábola de mínimos cuadrados fueron ajustadas a un mismo conjunto de puntos.
- Explíquese por que la suma de los cuadrados de las desviaciones (dist. Vertical entre la curva y los puntos en el plano cartesiano). De los puntos respecto a a la parábola, NO PUEDE SER MAYOR que la suma de los cuadrados de las desviaciones de los puntos respecto a la recta.
Por favor si no te es mucha molestia esperaría que me dieras la solución antes de este sábado.
2 Respuestas
Respuesta de eudemo
1
La respuesta a partir de las definiciones de recta de mínimos cuadrados y parábola de mínimos cuadrados es la siguiente:
En la recta de mínimos cuadrados y=mx+br los coeficientes m y br son los que minimizan la suma de los cuadrados de las desviaciones (dist. Vertical entre la curva y los puntos en el plano cartesiano):
S1=Sumatoria sobre i de (yi- mxi-br)^2 (1)
En la parábola de mínimos cuadrados y=ax^2+bx+c los coeficientes a, b,c
Son los que minimizan la suma de los cuadrados de las desviaciones (dist. Vertical entre la curva y los puntos en el plano cartesiano:
S2=Sumatoria sobre i de (yi- axi^2-bx-c)^2 (2)
Si la suma obtenida en (1) fuera menor que la obtenida en (2) a, b, c no cumplirían con la condición de minimizar la (2) ya que tomando
c=br
b=m
a=0
Tendríamos un valor menor en (2). Por lo tanto a, b, c no nos estarían dando el mínimo en (a). Por lo tanto la suma en (2) solo puede ser mayor o igual que la suma en (1)
En la recta de mínimos cuadrados y=mx+br los coeficientes m y br son los que minimizan la suma de los cuadrados de las desviaciones (dist. Vertical entre la curva y los puntos en el plano cartesiano):
S1=Sumatoria sobre i de (yi- mxi-br)^2 (1)
En la parábola de mínimos cuadrados y=ax^2+bx+c los coeficientes a, b,c
Son los que minimizan la suma de los cuadrados de las desviaciones (dist. Vertical entre la curva y los puntos en el plano cartesiano:
S2=Sumatoria sobre i de (yi- axi^2-bx-c)^2 (2)
Si la suma obtenida en (1) fuera menor que la obtenida en (2) a, b, c no cumplirían con la condición de minimizar la (2) ya que tomando
c=br
b=m
a=0
Tendríamos un valor menor en (2). Por lo tanto a, b, c no nos estarían dando el mínimo en (a). Por lo tanto la suma en (2) solo puede ser mayor o igual que la suma en (1)
Respuesta de energratis
1
La razón es muy simple, una recta al ser un polinomio grado 1 es menos PRECISO que un polinomio grado 2 lo es una parábola, en general si tienes N puntos aleatorios y eliges un polinomio o regresión polinómica de grado N-1 tu curva o pasará EXACTAMENTE por todos los puntos o muy cerca con la mayor exactitud posible
Lo más interesante es que podamos hacer una extrapolación de los N puntos para predecir un resultado como lo es los juegos de azar con un polinomio de grado adecuado pase por todos los puntos del historial, en mi página de azar puedes ver todo eso en más detalles, con ejemplos y cálculo está en
http://members.fortunecity.es/stange/azar.htm
Lo más interesante es que podamos hacer una extrapolación de los N puntos para predecir un resultado como lo es los juegos de azar con un polinomio de grado adecuado pase por todos los puntos del historial, en mi página de azar puedes ver todo eso en más detalles, con ejemplos y cálculo está en
http://members.fortunecity.es/stange/azar.htm