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Si h es la altura del cono inscripto en la esfera de radio 12 , el radio de la base del cono es
r=[12^2-(12-h)^2](1/2)
El area lateral es
AL=(1/2)r h
AL=(1/2)[12^2-(12-h)^2](1/2)h
Esta es la funcion a maximizar
pero pero es mejor multiplicarla por dos y elevar al cuadrado.
Es decir AL sera máxima cuando
f(h)= 4 AL^2
sea maxima
Entonces es
f(h)=[12^2-(12-h)^2] h^2
f(h)=[12^2-(12-h)^2] h^2
f(h)=24 h^3- h^4
f´(hmax)=72 h^3- 12 h^2=0
De donde hmax= 72/12=6
es el valor de la altura que da la maxima área lateral
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La onda en el estanque forma un circulo
El area del circulo es
Pi R^2
la derivada con respecto a el radio es
2 Pi R
(coinciden con la longitud de la circunferencia porque cuando aumento un poquito el radio se agrega una superficie con forma de corona circular cuya area es la long de la circ por la variacion del radio)
Bueno , estabamos en que
2 Pi R
es la variacion del area con respecto al radio.
5m/seg es la variaciondel radio por unidad de tiempo
entonces por la regla de la cadena la derivada del area con respecto al tiempo es la derivada del area con respecto al radio por la derivada del radio con respecto al tiempo ( lo que por otra parte es bastante logico). Es decor la razón pedida vale
2 Pi R 5 m/s = 10 Pi R m/s
con el radio en metros la razon me dará en m^2/seg
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