Proyectil
Mediante un rifle que apunta a un blanco A se dispara un proyectil con cierta velocidad Vo y un ángulo de lanzamiento @. Simultáneamente se deja caer el blanco . Si el alcance horizontal del proyectil es mayor que la distancia de,¿cómo determinar si el pryectil hace impacto en el blanco y en que tiempo lo hace
1 Respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Para que la bala alcance al blanco, basta con que el tirador apunte al blanco.
La bala realiza un turo parabólico, de forma que tomando orígenes en el punto del tirador, y eje Y hacia arriba, la posición de la bala en cada instante estará regida por las ecuaciones
x1=Vo*cos@*t
y1=Vo*sen@*t-(1/2)*g*t^2
El blanco realiza una caída libre desde una altura h, y a una distancia horizontal de del origen, o sea sus ecuaciones serán
x2=d
y2=h-(1/2)*g*t^2
El impacto se producirá siempre y cuando haya un instante en el que bala y blanco ocupen la misma posición, es decir
x1=x2
y1=y2
con lo que
Vo*cos@*t=d
Vo*sen@*t-(1/2)*g*t^2=h-(1/2)*g*t^2
Vo*cos@*t=d
Vo*sen@*t=h
Dividiendo la segunda ecuación entre la primera
(Vo*sen@*t)/(Vo*cos@*t)=h/d
sen@/cos@=h/d
tg@=h/d
Es decir, impactará siempre y cuando la velocidad inicial de la bala forme un ángulo con la horizontal cuya yangente sea h/d, o sea, si la velocidad inicial apunta hacia la bala en el instante inicial
El tiempo que tarda en llegar, lo sacamos de la ecuación
Vo*cos@*t=d
t=d/(Vo*cos@)
Y mirando en el triángulo que une el origen, la posición inicial del blanco y el suelo
cos@=d/R
siendo R--> distancia entre tirador y blanco
R=raiz[d^2+h^2]
luego
cos@=d/raiz[d^2+h^2]
t=d/(Vo*cos@)
t=d/[Vo*d/raiz[d^2+h^2]]
t=1/(Vo*raiz[d^2+h^2])
Que será el tiempo en llegar
Sólo reseñar que esto será cierto siempre y cuando la bala tenga un alcance mayor que de, pues si no es así, el blanco llega al suelo antes de que llegue la bala. Matemáticamente, si seguimos proyectando los movimientos, la bala alcanzaría al blanco, pero a una altura por debajo del suelo (y<0)
El resultado es lógico: si no hubiera un M.R.U.A en el eje Y, es decir, si no existiera el peso, entonces la bala haría un M.R.U, y el blanco permanecería quieto. En tal caso, basta conque apuntemos al blanco para acertar. Teniendo en cuenta que sí existe una aceleración hacia abajo, pero que afecta por igual a la bala y al blanco, el problema sigue siendo igual, con lo que la bala alcanza al blanco aunque exista ese m.R.U.A en el eje vertical ( existe para la bala y para el blanco de la misma manera)
La bala realiza un turo parabólico, de forma que tomando orígenes en el punto del tirador, y eje Y hacia arriba, la posición de la bala en cada instante estará regida por las ecuaciones
x1=Vo*cos@*t
y1=Vo*sen@*t-(1/2)*g*t^2
El blanco realiza una caída libre desde una altura h, y a una distancia horizontal de del origen, o sea sus ecuaciones serán
x2=d
y2=h-(1/2)*g*t^2
El impacto se producirá siempre y cuando haya un instante en el que bala y blanco ocupen la misma posición, es decir
x1=x2
y1=y2
con lo que
Vo*cos@*t=d
Vo*sen@*t-(1/2)*g*t^2=h-(1/2)*g*t^2
Vo*cos@*t=d
Vo*sen@*t=h
Dividiendo la segunda ecuación entre la primera
(Vo*sen@*t)/(Vo*cos@*t)=h/d
sen@/cos@=h/d
tg@=h/d
Es decir, impactará siempre y cuando la velocidad inicial de la bala forme un ángulo con la horizontal cuya yangente sea h/d, o sea, si la velocidad inicial apunta hacia la bala en el instante inicial
El tiempo que tarda en llegar, lo sacamos de la ecuación
Vo*cos@*t=d
t=d/(Vo*cos@)
Y mirando en el triángulo que une el origen, la posición inicial del blanco y el suelo
cos@=d/R
siendo R--> distancia entre tirador y blanco
R=raiz[d^2+h^2]
luego
cos@=d/raiz[d^2+h^2]
t=d/(Vo*cos@)
t=d/[Vo*d/raiz[d^2+h^2]]
t=1/(Vo*raiz[d^2+h^2])
Que será el tiempo en llegar
Sólo reseñar que esto será cierto siempre y cuando la bala tenga un alcance mayor que de, pues si no es así, el blanco llega al suelo antes de que llegue la bala. Matemáticamente, si seguimos proyectando los movimientos, la bala alcanzaría al blanco, pero a una altura por debajo del suelo (y<0)
El resultado es lógico: si no hubiera un M.R.U.A en el eje Y, es decir, si no existiera el peso, entonces la bala haría un M.R.U, y el blanco permanecería quieto. En tal caso, basta conque apuntemos al blanco para acertar. Teniendo en cuenta que sí existe una aceleración hacia abajo, pero que afecta por igual a la bala y al blanco, el problema sigue siendo igual, con lo que la bala alcanza al blanco aunque exista ese m.R.U.A en el eje vertical ( existe para la bala y para el blanco de la misma manera)
