Propagación de errores
A l'hora de mesurar la potència que una font de tensió contínua (una pila o una bateria, per exemple) subministra a una càrrega resistiva R podem utilitzar mètodes diferents, ja que la potència subministrada P es pot expressar com P=I V = I2 R = V2/R on V i I representen el voltatge aplicat i el corrent que hi circula, respectivament. Si els instruments de què disposem: voltímetre, amperímetre i ohmímetre presenten el mateix error relatiu en la mesura de cada magnitud, ¿quin dels tres mètodes resultarà més exacte?
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Respuesta de mikel1970
1
Saquemos los errores relativos a la multiplicación y división.
Usaremos A para el incremento
a=b*c
Derivando
Aa = cAb + b*Ac
Dividiendo entre a para sacar los errores relativos
Aa/a = c*Ab/a + b*Ac/a
Aa/a = c*Ab/(b*c) + b*Ac/(b*c)
Aa/a = Ab/b + Ac/c
Es decir los errores relativos de una multiplicación se suman
De igual forma
a = b^2
Aa = 2*b*Ab
Aa/a = 2*b*Ab/a
Aa/a = 2*b*Ab/b^2
Aa/a = 2*Ab/b
Es decir, al elevar al cuadrado, el error relativo se duplica.
Veamos que ocurre con la división ( ahora al derivar sustituimos las restas por sumas, pues siempre hay que ir por el caso peor)
a = b/c
Aa = (c*Ab + b*Ac)/c^2 =Ab/c + b*Ac/c^2
Aa/a = Ab/(c*a) + b*Ac/(c^2*a)
Aa/a = Ab/(c/b/c) + b*Ac/(c^2 * b/c)
Aa/a = Ab/b + Ac/c
Es decir, al dividir, los errores relativos tambíen se suman
En tu caso, si los errores relativos son iguales
AI/I = AV/V = AR/R = e
1º P=I*V
AP/P = AI/I + AV/V = e + e = 2*e
2º P = I^2/R
AP/P = 2*AI/I + AR/R = 2*e + e = 3*e
3º P = V^2*R
AP/P = 2*AV/V + AR/R = 2*e + e = 3*e
Es decir, según la teoría de errores, parece que el resultado será más exacto si mides la intensidad y el voltaje. En ese caso para la potencia cometerás un error relativo doble al de los aparatos ( en los otros casos es el triple)
Usaremos A para el incremento
a=b*c
Derivando
Aa = cAb + b*Ac
Dividiendo entre a para sacar los errores relativos
Aa/a = c*Ab/a + b*Ac/a
Aa/a = c*Ab/(b*c) + b*Ac/(b*c)
Aa/a = Ab/b + Ac/c
Es decir los errores relativos de una multiplicación se suman
De igual forma
a = b^2
Aa = 2*b*Ab
Aa/a = 2*b*Ab/a
Aa/a = 2*b*Ab/b^2
Aa/a = 2*Ab/b
Es decir, al elevar al cuadrado, el error relativo se duplica.
Veamos que ocurre con la división ( ahora al derivar sustituimos las restas por sumas, pues siempre hay que ir por el caso peor)
a = b/c
Aa = (c*Ab + b*Ac)/c^2 =Ab/c + b*Ac/c^2
Aa/a = Ab/(c*a) + b*Ac/(c^2*a)
Aa/a = Ab/(c/b/c) + b*Ac/(c^2 * b/c)
Aa/a = Ab/b + Ac/c
Es decir, al dividir, los errores relativos tambíen se suman
En tu caso, si los errores relativos son iguales
AI/I = AV/V = AR/R = e
1º P=I*V
AP/P = AI/I + AV/V = e + e = 2*e
2º P = I^2/R
AP/P = 2*AI/I + AR/R = 2*e + e = 3*e
3º P = V^2*R
AP/P = 2*AV/V + AR/R = 2*e + e = 3*e
Es decir, según la teoría de errores, parece que el resultado será más exacto si mides la intensidad y el voltaje. En ese caso para la potencia cometerás un error relativo doble al de los aparatos ( en los otros casos es el triple)
