Movimiento parabólico

Cuales son todas las ecuaciones del movimiento parabólico o de proyectiles

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Me gusta la pregunta, precisamente para desmontar una creencia generalizada de que la física consiste en aplicar fórmulas, algo que se debe a cómo interpretan la física los libros de física.
En realidad la física consiste en sólo unas pocas definiciones generales, y a partir de ellas estudiar casos particulares obteniendo unas fórmulas que SOLO valen para ese caso muy concreto. Fórmulas que en su mayoría es mejor no saber, pero sí el cómo se han obtenido, para precisamente aplicar el desarrollo a un caso parecido pero no igual, donde esa fórmula ya no es correcta.
En el caso de la cinemática sólo hay que saber las definiciones de velocidad y aceleración.
Y ya empezamos a estudiar un caso concreto, cuando el movimiento es rectilíneo y la aceleración es constante, integrando llegamos a las ecuaciones del m.r.u.a ( movimiento rectilíneo uniformemente acelerado)
V = Vo + a*t
s = so + Vo*t + (1/2)*a*t^2
Ecuaciones sólo válidas cuando a = cte, o sea, en caso que la aceleración no sea constante no son válidas y hay que integrar de nuevo. Como caso particular de este caso particular, a=0=cte, y sacaremos las ecuaciones del m.r.u ( movimiento rectilíneo uniforme), como caso particular del m.r.u.a
V=Vo
s=so + Vo*t
Y sólo con esto podemos sacar todas las fórmulas del tiro parabólico.
¿En qué consiste y por qué se llama tiro parabólico?. Pues simplemente es el movimiento que describiría un cuerpo que se mueve sobre la superficie de la Tierra ( o cualquier planeta), y que está sometido a una única fuerza vertical hacia abajo debido a su propio peso ). En tal caso, si tomamos un eje X horizontal y un eje Y vertical, comprobamos que en eje X tenemos un m.r.u ( no hay fuerza, a=0), y en el eje Y un m.r.u.a ( si consideramos el peso constante, claro, hay una a=g=cte hacia abajo). Así pues las ecuaciones del tiro serán
Eje X (m.r.u)
Vx=Vox=cte
x=xo+Vx*t=xo+Vox*t
Eje Y (m.r.u.a)
Vy=Voy+a*t
y=yo+Voy*t+(1/2)*a*t^2
Siendo
Pero distancia horizontal del origen al punto de lanzamiento
yo distancia vertical del origen al punto de lanzamiento
Vox Velocidad inicial en el eje X
Voy Velocidad inicial en el eje Y
A la aceleración
Bien con sólo esto ya puedes hacer prácticamente todos los problemas, sustituyendo sólo las condiciones iniciales de tu problema.
Y ahora es donde viene en los libros el baile de casos particulares y sus fórmulas.
Primero veremos por qué se llama tiro parabólico
Tenemos dos ecuaciones x(t), y(t) que nos proporcionan la posición del cuerpo en función del tiempo. Eliminando ese parámetro, sacaremos una ecuación y=y(x), que nos da la trayectoria del cuerpo
x=xo+Vox*t ----> t=(x-xo)/Vox
y=yo+Voy*t+(1/2)*a*t^2 --->y=yo+Voy*(x-xo)/Vox+(1/2)*a*(x-xo)^2/Vox^2
que desarrollada un poco nos quedará algo como
y=A*x^2+B*x+C
O sea una parábola, y por eso se llama tiro parabólico (nombre poco original, por cierto)
Bien veamos que dicen los libros, diferenciando ya, erróneamente entre tiro parabólico y tiro horizontal, que es tan tiro parabólico como el otro.
TIRO PARABÓLICO ( o mejor un caso particular del mismo)
Se lanza un objeto desde el suelo con una velovidad inicial Vo y formando un ángulo A con la horizontal
En este caso conviene coger el origen en el punto de lanzamiento ( para que xo=yo=0), y proyectando Vo sobre los ejes, obtenemos
xo=yo=0
Vox=Vo*cosA
Voy=Vo*senA
a=-g ( va en contra del eje)
Así pues
Vx=Vo*cosA
x=Vo*cosA*t
Vy=Vo*senA-g*t
y=Vo*senA*t-(1/2)*g*t^2
¿Que nos suele interesar?. La altura a la que llega y el alcance máximo
Para calcular la altura, sabemos que arriba Vy=0, luego
0=Vo*senA-g*t-->t=Vo*senA/g
y en ese instante la altura será
y=Vo*senA*Vo*senA/g-(1/2)*g*(Vo*senA/g)^2
ymax=Vo^2*sen^2A/2g
Para el alcance máximo sabemos que la altura es y=0
0=Vo*senA*t-(1/2)*g*t^2
t*(Vo*senA-(1/2)*g*t)=0
t=0 situación inicial que no nos interesa
Vo*senA-(1/2)*g*t=0 --->t=2*Vo*senA/g (el doble del anterior)
con lo que en ese momento el alcance será
xmax=2*Vo*cosA*Vo*senA/g
y como sen(2A)=2*senA*cosA
xmax=Vo^2*sen(2A)/g
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