Problema con vectores

He estado resolviendo el problema, pero la solución que me sale es extraña.
Te cuento, si el vector a es perpendicular al plano XOZ, entonces las componentes en el eje por y en el eje z son 0. Así queda un vector del tipo a = (0, ay, 0).
El vector b será del tipo b = (bx, by, bz)
Si el producto escalar de a y b es 4, entonces
a·b= 0·bx + ay·by + 0·bz = ay·by = 4
La suma de los vectores es igual a c = (3 , 2 , 4), así pues :
a+b = (0+bx , ay+by , 0+bz) = (3 , 2, 4), de donde bx =3, bz = 4, ay+by = 2
Así pues tenemos que ay·by =4, y ademas, ay+by=2.  Sustituyendo una ecuación en la otra nos resulta una ecuación de segundo grado así:
(by^2) - (2·by) + 4 = 0.  Y al resolver esta ecuación es donde sale la solución extraña, ya que la solución no es real, sino compleja, resultando
by = 1 + raiz(3)·i, y por tanto ay = 1 - raiz (3)·i
o bien
by = 1 - raiz(3)·i, y por tanto ay =1 + raiz (3)·i
Así pues quedaría dos posibles soluciones que son:
a = (0 , 1 - raiz(3)·i , 0), y b = (3 , 1 + raiz(3)·i , 4)
o bien
a = (0 , 1 + raiz(3)·i , 0), y b = (3 , 1 - raiz(3)·i , 4)
Revisa el enunciado a ver si todos los datos están correctos, porque si es así, la solución resultante es la que te he puesto. Si tu le ves sentido a que una de las componentes de los vectores sea un número complejo pues ya está.

Ricardo, antes que nada gracias por tu respuesta, pero me surge una duda ante el planteamiento que haces: Si el vector es perpendicular al plano XOZ, no quedaría un vector del tipo a= ax, 0, ¿az? De todas formas la resolución que planteas es acertada y así es como lo he intentado, pero con el vector "a" que te propongo. No obstante, las soluciones deben salir con coordenadas del vector tipo (i, j, k), con doble valor, lo que me induce a pensar que la resolución procede de una ecuación de segundo grado. Y ahí está mi duda...

Si el vector es perpendicular al plano XOZ, solo puede tener desplazamiento en el eje Y, así que el vector debería ser como te lo he puesto. El que indicas tu sería si el vector fuera paralelo al plano XOZ, ya que no tendría posibilidad de desplazamiento en el eje Y.
Lo de las coodenadas del vector tipo (i, j, k) se refiere a que estarán como combinación lineal respecto a los vectores de la base canónica i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)
No hay que confundir la i del vector base (1,0,0), con la i que he puesto en la solución de la ecuación de segundo grado que es el número imaginario i = raíz (-1).
Lo del doble valor que dices no entiendo a que te refieres.