quein tiene la responsabilidad

Si la avería es tuya, tienes que arreglar tú. Hasta que no lo hagas, ninguna compañía, ni la del vecino, ni tuya, van a pintar o lo que sea al vecino.
Hay dos temas:
1) Los daños del vecino. Entiendo que al producirse durante el vigor de la póliza anterior debería hacerse cargo la compañía tuya anterior. Debes llamar con el número de póliza que tenías y decir que te reclama ahora el vecino unos daños de hace tantos meses... No sé hasta qué punto te harán caso, pero es lo más lógico.
2) Tu avería. Si tienes avería, el problema es ver quién te lo repara. Tu seguro actual pienso que, al menos, debería descubrir para localizarla y luego si demuestra que es anterior a la contratación de la póliza, te lo deben dejar descubierto y llamar entonces a tu seguro anterior con la misma historia.
También tu vecino podía no haber dicho de cuándo es la avería, ya que te está perjudicando y a él también pues si ninguna compañía se hace cargo depende de tu voluntad y disponibilidad que lo arregles.
En fin, yo lo intentaría primero con la compañía anterior y si no con la actual. Lo que te toca es moverte y muchas llamadas y  rollo, pero es la única manera que yo veo...
Un saludo

Evidentemente, tú tienes responsabilidad hasta cierto límite, es decir, si hay una humedad, hasta pintar y sanear, si es el caso, esa pared o techo. Si a consecuencia de que el vecino lo ha ido dejando y se ha mojado otra pared más, y se ha incrementado el daño, ahí ya se puede pelear que tu responsabilidad llega únicamente a la humedad inicial, ya que el resto es culpa del propio vecino por no haberte avisado y tú no tener los medios para saber que estabas mojando.
Si ves que ninguna compañía lo arregla y te toca a ti finalmente hacerlo, usa ese argumento para indemnizarle por menos, llega a un acuerdo con el vecino para pagarlo a medias o cada uno lo que le corresponda.
Un saludo